数学公式

\( 因数分解 \)

\[  \begin{eqnarray}
  \left\{
    \begin{array}{l}
    (a+b)^3=a~3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\
  (a-b)^3=a~3-3a^2b+3ab^2-b^3
\end{array}
  \right.
\end{eqnarray} \]
\[ \begin{eqnarray}
  \left\{
    \begin{array}{l}
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \\
 a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
\end{array}
  \right.
\end{eqnarray}
 \]

\( 2次方程式 \)

\[
\begin{align}
ax^2+bx+c&=a \left( x^2+ \frac{b}{a}x \right) +c \\
&=a \{ x^2+2 \cdot \frac{b}{2a}x+ \left(\frac{b}{2a} \right)^2 \}-a \left(\frac{b}{2a} \right)^2+c \\
&=a \left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2- \frac{b^2-4ac}{4a}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
p&=-\frac{b}{2a} \\
q&=-\frac{b^2-4ac}{4a} \\
y&=a(x-p)^2+q \end{align}
\]
\[
\begin{align}
軸&: \quad x=- \frac{b}{2a} \\
座標&: \quad \left( - \frac{b}{2a}, \ - \frac{b^2-4ac}{4a} \right) \end{align}
\]
\( 2次方程式の解 \)
\[
\begin{align}
ax^2+bx+c=0 \\
x&=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
b=2b' \ であるとき \\
x&=\frac{-b' \pm \sqrt{b'^2-ac}}{a} \end{align}
\]
\[
\begin{align}
解が \alpha \ と \ \beta \ であるとき \\
\alpha \ + \ \beta &= -\frac{b}{a} \\
\alpha \ \beta &= \frac{c}{a} \\
ax^2+bx+c &= a \biggl( x^2+ \frac{b}{a}x+ \frac{c}{a} \biggr) \\
&= a\{ x^2-(\alpha \ + \ \beta)x+\alpha \ \beta \} \\
&=a(x-\alpha)(x-\beta) \end{align}
\]

\( 相加相乗平均 \)
\[
\begin{align}
\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \\
a+b \geq 2\sqrt{ab} \\
等号成立は \ a=b \ のとき \end{align}
\]

\( データ分析 \)
\[
\begin{align} 平均値 \ : \ \overline{x} \\
\overline{x} &=\frac{1}{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}) \end{align}
\]
\[
\begin{align} 分散 \ :s^2 \\
s^2&=\frac{1}{n} \{ (x_{1}-\overline{x})^2+(x_{2}-\overline{x})^2+ \cdots (x_{n}-\overline{x})^2\} \\
s^2&=\overline{x^2}-(\overline{x})^2 \end{align}
\]
\[
\begin{align} 標準偏差 \ :s \\
s&= \sqrt{ \ \frac{1}{n} \{ (x_{1}-\overline{x})^2+(x_{2}-\overline{x})^2+ \cdots (x_{n}-\overline{x})^2\} } \\
s&= \sqrt{ \ \overline{x^2}-(\overline{x})^2 } \end{align}
\]
\[
\begin{array}
共分散 \ :s_{xy} \\
s_{xy}=\frac{1}{n} \{ (x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})+(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})+ \cdots (x_{n}-\overline{x})(y_{n}-\overline{y})\} \end{array}
\]
\[
\begin{align}
&相関係数 \ : \ r \\
&r=\frac{ s_{xy} }{ s_{x}s_{y} } \\
&[1] \ rの値が1に近いとき、強い正の相関関係 \\
&[2] \ rの値が-1に近いとき、強い負の相関関係 \\
&[3] \ rの値が0に近いとき、直線的な相関関係はない \end{align}
\]