[数学] 半径が4、中心角が60°の扇形AOBがある。

半径が4、中心角が60°の扇形AOBがある。孤AB上に点Ｐをとり、ＰからＯＡに下ろした垂線PSを一辺として、扇形に内接する長方形ＰＱＲＳを作る。
∠POA=θとするとき、この長方形の面積Ｓをθで表し、Ｓの最大値を求めよ。

以下、角度はラジアンとして扱う。

\( S = PS \times RS \)

△OPSより
\( PS = 4 \sin \theta \)
\( OS = 4 \cos \theta \)

PS=QR、△OQRより
\( OR = QR \div \tan \frac{\pi}{3} = \frac{4 \sin \theta}{\sqrt{3}}  \)
よって
\( RS = OS - OR = 4 \cos \theta - \frac{4 \sin \theta}{\sqrt{3}} \)
\[ \begin{eqnarray} S &=& 4 \sin \theta \times (4 \cos \theta - \frac{4 \sin \theta}{\sqrt{3}}) \\ &=& 16 \sin \theta \cos \theta -\frac{16}{\sqrt{3}} \sin^2 \theta \end{eqnarray} \]

2倍角の公式

\[ \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta \]

半角の公式

\[ \sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2} \]

よって

\( S = 8\sin 2\theta -\frac{16}{\sqrt{3}}(\frac{1-\cos 2\theta}{2}) \\ \ \ \ = 8\sin 2\theta + \frac{8}{\sqrt{3}} \cos 2\theta - \frac{8}{\sqrt{3}} \)

三角関数の合成

\[ a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{ a^2+ b^2 } \sin ( \theta + \alpha ) \]

\[ \sin \alpha = \frac{ b }{ \sqrt{ a^2+ b^2 } } \ \quad \cos \theta = \frac{ a }{ \sqrt{ a^2+ b^2 } } \]

\( \sqrt{ a^2+ b^2 } = \sqrt{ 64 + \frac{64}{3} } = \frac{16}{ \sqrt{3} } \)

\( \sin \alpha = \frac{1}{2} \ \quad \cos \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } \)より

\( \alpha = \frac{\pi}{6} \)

\[ \begin{eqnarray} S &=& \frac{16}{ \sqrt{3} } \sin ( 2\theta + \frac{ \pi }{ 6 } ) - \frac{8}{\sqrt{3}} \\ &=& \frac{16\sqrt{3} }{ 3 } \sin ( 2\theta + \frac{ \pi }{ 6 } ) - \frac{ 8\sqrt{3} }{3} \end{eqnarray} \tag{1} \]

Sが最大値をとる条件は

\( \sin ( 2\theta + \frac{\pi}{6} ) = 1 \ \ \)のとき

\( 2\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \ \ \)より

\( \theta = \frac{\pi}{6} \)

よって\( \ \ \theta = 30^{\circ} \ \ \)のとき最大値

\[ S= \frac{8\sqrt{3}}{3} \tag{2} \]