[数学] 曲線y=x^2と直線y=axの交点のx座標が0<=x<=1の範囲にあるとし、区間0<=x<=1でこの曲線と直線に挟まれる部分の面積をS(a)とする。

曲線y=x^2と直線y=axの交点のx座標が0<=x<=1の範囲にあるとし、区間0<=x<=1でこの曲線と直線に挟まれる部分の面積をS(a)とする。実数aが変化するとき、関数S(a)のグラフをかき、S(a)の最小値を求めよ。

\( f(x)=x^2 \quad g(x)=ax \ \)とする。
2つの関数の交点はf(x)=g(x)より
\( x^2-ax=x(x-a)=0 \)
\( x=0,a \)
よって\( \ 0 \leqq a \leqq 1 \)
交点が\( \ 0 \lt a \lt 1 \ \)のとき、
0からaまでは\( \ f(x) \lt g(x)  \)
aから1までは\( \ f(x) \gt g(x)  \)
よって面積は
\[ \begin{eqnarray} S(a) &=& \int_0^a(ax-x^2) dx + \int_a^1(x^2-ax) dx  \\ &=& \left[ \frac{x^2}{2}a-\frac{x^3}{3} \right]_0^a + \left[ \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}a \right]_a^1 \\ &=& \frac{1}{3}a^3 -\frac{1}{2}a +\frac{1}{3} \end{eqnarray} \]
このS(a)を微分すると
\[ S'(a)=a^2-\frac{1}{2}=(a+\frac{1}{ \sqrt{2} })(a-\frac{1}{ \sqrt{2} }) \]
\[ a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \]
\( \ a\gt 0 \ \)なので\( \ a=\frac{1}{ \sqrt{2} } \ \)は極小値となる
よって\( \ a=\frac{1}{ \sqrt{2} } \ \)のとき、面積は最小値となるので
\[ \begin{eqnarray} S(\frac{1}{\sqrt{2}}) &=& \frac{1}{6\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{3}  \\ &=& \frac{\sqrt{2}-1}{3\sqrt{2}} \end{eqnarray} \]
分母を有理化して
\[ \therefore \frac{2-\sqrt{2}}{6} \]