[物理] 無限に長い棒に、単位長さあたりq[C/m]の電荷が一様に分布している。

無限に長い棒に、単位長さあたりq[C/m]の電荷が一様に分布している。棒の周りの電気力線の様子を推定し、棒の単位長さから出る電気力線の総本数を求め、棒からr[m]離れた位置の電界の強さを求めよ。


棒からr[m]離れた位置を考える。
棒に垂直な面を考えると、円柱の側面積となる。
（円柱の上下の円の面積部分は電気力線と平行なので含めない）
この円柱の高さを単位長さ\( \ h \ \)とすると、円柱の側面積\( \ S_0 \ \)は
\[ S_0=2 \pi r h \tag{1}  \]
単位長さあたり\( \ q \ \)[C/m]なので電荷\( \ Q \ \)は
\[ Q=qh \tag{2} \]

電気力線の総本数Ｎ

\[ N=E \times S=k_0\frac{Q}{ r^2} \times 4 \pi r^2=4\pi k_0Q \tag{3} \]

電荷\( \ Q \ \)の電気力線の総本数Ｎは、(3)に(2)を代入して

\[ N=4 \pi k_0 qh \]

電場の強さEは公式より\( \ E=\frac{N}{S} \)

よって

\[ E=\frac{N}{S_0}=\frac{4 \pi k_0 qh}{2 \pi r h}=\frac{2k_0q}{r} \ [N/C] \]