nを自然数とする。曲線y=x^3上に異なる点の列 P1,P2 …,Pn,Pn+1,… があり,各nに対し、点Pn+1は、点Pnからこの曲線に引いた接線の接点であるとする。P1の座標を(a,a^3)、Pnの座標を(Xn,Xn^3)とするとき、次の問いに答えよ。
(1)Xnをaとnで表せ。
(2)2点間の距離PnPn+1をｌnとするとき、ln^2をaとnで表せ。
(3)無限級数\( \ {l_1}^2+{l_2}^2+ \cdots +{l_n}^2+ \cdots \ \)の和を求めよ。
点\( \ P_{n+1} \ \)の座標を\( \ (x_{n+1},{x_{n+1}}^3) \ \)とし、接線\( \ l \ \)の方程式を求める。
\( \ y=x^3 \ \)を微分すると、\( \ y'=3x^2 \ \)
点\( \ P_{n+1} \ \)で接するので、接線の傾きは\( \ {3x_{n+1}}^2 \ \)
点\( \ P_{n+1} \ (x_{n+1},{x_{n+1}}^3) \ \)を通るので、
\[ y-{x_{n+1}}^3={3x_{n+1}}^2(x-x_{n+1}) \\ y=3x(x_{n+1})^2-{2x_{n+1}}^3 \]
これが接線の方程式。
接線と曲線\( \ y=x^3 \ \)は交点と接点を持つので解を持つ。
3次式の解は3つ。
よって接点\( \ P_{n+1} \ \)で重解を持つので、\( \ x_{n+1} \ \)が3次式の重解になることが予想できる。簡便のため\( \ x_{n+1}=b \ \)と置くと
\( \ x^3=3xb^2-2b^3 \ \)
\( \ x^3-3xb^2+2b^3=0 \ \)は\( \ (x-b)^2 \ \)で割り切れるので
\( \ (x-b)^2(x+2b)=0 \ \)と因数分化できる。
重解でない方が\( \ x_n \ \)となるので
\( \ x=-2b \ \)は\( \ x_n=-2x_{n+1} \ \)となる。よって
\[ x_{n+1}=-\frac{1}{2}x_n \]
これは公比-1/2の等比数列である。初項は\( \ a \ \)なので一般項は
\[ \therefore x_n=a(-\frac{1}{2})^{n-1} \tag{1} \]
線分\( \ l_n \ \)は直角三角形の斜辺であるから、三平方の定理より
\( {l_n}^2=(x_n-x_{n+1})^2+({x_n}^3-{x_{n+1}}^3)^2 \ \)
\( x_{n+1}=-\frac{1}{2}x_n \ \)と(1)より
\( {l_n}^2=(\frac{3}{2}x_n)^2+(\frac{9}{8}{x_n}^3)^2 \\ \quad \ =(-3 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot x_n)^2+(-9 \cdot (-\frac{1}{2})^3 \cdot {x_n}^3)^2 \\ \quad \ =(-3 \cdot a(-\frac{1}{2})^n )^2+(-9 \cdot a^3(-\frac{1}{2})^{3n} )^2 \\ \quad \ =9a^2(-\frac{1}{2})^{2n}+81a^6(-\frac{1}{2})^{6n} \)
\[ \therefore {l_n}^2=9a^2(\frac{1}{4})^{n}+81a^6(\frac{1}{64})^{n} \tag{2} \]
無限等比級数は\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} \ \)公比\( \ |r| \lt 1 \ \)のときに収束し、その和は
\[ \frac{a}{1-r} \]
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {l_n}^2=\frac{9}{4}a^2(\frac{1}{4})^{n-1}+\frac{81}{64}a^6(\frac{1}{64})^{n-1} \)
\( \displaystyle \qquad \ \ \ =\frac{\frac{9}{4}a^2}{\frac{3}{4}}+\frac{\frac{81}{64}a^6}{\frac{63}{64}} \)
\[ \therefore \sum_{n=1}^{\infty} {l_n}^2=3a^2+\frac{9}{7}a^6 \tag{3} \]
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