[物理] 傾きの角がθのあらい斜面上で、物体に斜面に沿って上向きに初速V0を与えると、物体は斜面を上っていったのち、下ってきた。

傾きの角がθのあらい斜面上で、物体に斜面に沿って上向きに初速V0を与えると、物体は斜面を上っていったのち、下ってきた。もとの位置を通過するときの速さはいくらか。ただし、物体と斜面の動摩擦係数をμ'とする。

重量　\( \vec{W}=m\vec{g} \)
重量の分力は
斜面に水平方向　\( mg\sin\theta \)
斜面に垂直方向　\( mg\cos\theta \)
斜面の垂直抗力　\( \vec{N}=mg\cos\theta \)
動摩擦力　\( \vec{f}=\mu ' \vec{N}=\mu 'mg\cos \theta \)

物体が坂を上っていく加速度を\( a_1 \)、坂を下る加速度を\( a_2 \)とする。

運動方程式　

\[ \vec{F}=m\vec{a} \]
初速度が与えられてから物体に働く力は、重力の水平方向の分力と動摩擦力であり進行方向と逆向きであるから、

\( ma_1=-mg\sinθ-μ'mg\cosθ\)　より

\( a_１=-(\sinθ+μ'\cosθ)g \)

坂を上った頂点から下るときに物体に働く力は、進行方向に重力の水平方向の分力と動摩擦力であるから

\( ma_2=mg\sinθ-μ'mg\cosθ \)　より

\( a_2=(\sinθ-μ'\cosθ)g \)

坂を上るとき、加速度は\( a_1 \)、頂上での速度\( V=0 \)なので

等加速度直線運動の公式

\[ V^2-V_0^2=2aS \]
\( 0^2-V_0^2=-2(\sinθ+μ'\cosθ)gS \)

\( S=\frac{V_0^2}{2(sinθ+μ'cosθ)g} \)

この\(S\)が初めの位置から頂上までの距離。
頂上から転がり始めるので初速度は\( 0 \)、
坂を下る加速度は\( a_2 \)、
元の位置を通過する時の速度を\(V_s\)とすると、

\( \begin{eqnarray} V_s^2-0^2 &=& \frac{2(\sinθ-μ'\cosθ)g \times V_0^2}{2(\sinθ+μ'\cosθ)g}　\\ &=& \frac{(\sinθ-μ'\cosθ)}{(\sinθ+μ'\cosθ)}\times V_0^2 \end{eqnarray} \)

\[ \therefore V_s=V_0\sqrt{\frac{\sinθ-μ'\cosθ}{\sinθ+μ'\cosθ}} \]